도형의 기하학 이야기

+다변수함수는 이름 그대로 변수가 여러 개이기 때문에 어떤 변수를 기준으로 변화를 보냐에 따라 다른 값이 나올 수 있다. 예를 들어, \(f(x,y)=2x+y\)를 생각해보자. \(f\)는 (0,0) 근처에서 \(y\)를 무시할 수 있기 때문에 \(x\)의 기준에서는 \(f(x,y)\approx 2x\)로 둘 수 있다. 즉, \(x\)축 방향으로의 변화는 2로 생각할 수 있고 같은 방식으로 \(y\)축 방향의 변화는 1이 된다. 그래서 각 변수마다 도함수를 따로 생각해줄 필요가 있으며 우리는 그것을 편도함수 (Partial derivative)라고 불렀다. Def (Partial derivative). \(f\colon U\subset \mathbb R^n\to\mathbb R\)로 가는 함수라고 하자...

벡터해석학이라고 불리는 다변수들의 미분적분은 대부분의 이공계에게 있어서 필수불가결한 분야이다. 대표적인 예시로 전자기학이 벡터해석학을 통해 기술될 수 있다. 주로 그래디언트, 회전, 발산 (gradiennt, curl, divergence)라는 3가지 미분 연산자를 이용한다. 3가지 미분 연산자는 벡터항등식이란 관계를 가진다. $$ \begin{gather} \nabla\times(\nabla f) = 0 \\ \nabla\cdot(\nabla\times F) = 0 \end{gather} $$ 이에 대해서 찾다가 보면 미분형식 (Differential form)이란 용어를 자연스럽게 접해볼 수 있다. 혹은 \(dx, dy\) 같은 기호를 어떻게 규명하는지 공부하다가 접해본 사람도 있을 것이다. 이 미분..

고등학교 때 복소수를 배우고 대학교 커리큘럼을 한 번쯤 보면 해석학과 별개로 복소해석학이라는 분야가 눈에 들어온다. 같은 해석학이면서 왜 구분할까 싶겠지만 복소수는 실수와 달리 많은 성질을 가지고 있다. 복소수를 처음 고등학교에서 배울 때 \(x^2+1=0\)의 근 중 하나로서 \(i\)를 도입하여 만든 수체계로 설명한다. 단순하게 \(i\)를 하나 추가했다고 뭐가 달라지겠냐고 생각할 수 있겠지만 복소수 위에서 우리는 모든 \(n\)차방정식의 해를 구할 수 있다. 이는 사실 대수적으로 의미가 있는 이야기지 해석학을 하는데 있어서 딱히 중요한 성질은 아니다. 해석학은 매우 다양한 함수를 다뤄야 하는데 고차방정식의 해가 존재한다 것만으로는 새로운 해석학의 필요성까지 느끼도록 만들지는 못한다. 그런데 이 대수..