[1. 미분형식 시리즈] 편도함수와 그래디언트, 회전, 발산

+다변수함수는 이름 그대로 변수가 여러 개이기 때문에 어떤 변수를 기준으로 변화를 보냐에 따라 다른 값이 나올 수 있다.

 

예를 들어, \(f(x,y)=2x+y\)를 생각해보자. \(f\)는 (0,0) 근처에서 \(y\)를 무시할 수 있기 때문에 \(x\)의 기준에서는 \(f(x,y)\approx 2x\)로 둘 수 있다. 즉, \(x\)축 방향으로의 변화는 2로 생각할 수 있고 같은 방식으로 \(y\)축 방향의 변화는 1이 된다. 그래서 각 변수마다 도함수를 따로 생각해줄 필요가 있으며 우리는 그것을 편도함수 (Partial derivative)라고 불렀다. 

Def (Partial derivative). \(f\colon U\subset \mathbb R^n\to\mathbb R\)로 가는 함수라고 하자. 우리는 다음의 함수가 존재한다면 이를 \(x^i\)에 대한 \(f\)의 편도함수라고 부른다. \[\frac{\partial f}{\partial x^i}(x) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h\cdot e_i)-f(x)}{h}\]

혼동의 여지가 없다면, 단순하게 \(f_{x_i}\), \(\partial_i f\) 등으로 쓰기도 한다.

 

여기서 \(x=(x^1,x^2,\dots,x^n)\)을 의미하며 \(e_i\)는 \(i\)번째 성분만 1이고 나머지는 0인 단위벡터다. \(U\)는 이제부터 열린 집합의 기호로 사용하겠다. 일반적으로, 변수의 첨자는 아래첨자를 썼겠지만 미분기하학에서는 주로 위첨자를 사용한다. 그래서 이 시리즈에서는 위첨자를 쓰려고 한다.

 

미분 (Differential)

 

편도함수의 정의를 보면 변수의 방향으로만 변화를 고려했다. 하지만 꼭 변수의 방향으로 움직일 이유는 없다. 그래서 일반적인 방향에서의 미분도 고려할 수 있다.

Def (Directional derivative). \(f:\colon U\to\mathbb R\)로 가는 함수라고 하자. 우리는 다음의 값이 존재한다면 이를 점 \(x\in U\)에서 방향 \(v\in\mathbb R^n\)에 대한 \(f\)의 방향도함수라고 부른다. \[df_x(v) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h\cdot v)-f(x)}{h}\] 

 

여기서 \(v=e_i\)를 대입하면 \[\frac{\partial f}{\partial x^i}(x)= df_x(e_i)\]을 얻을 수 있다. 주의할 점은 \(f\)의 방향도함수가 항상 존재한다는 것은 아니다. 가장 잘 아는 케이스인 1차원 예시를 관찰해보면 간단한 계산을 통해 다음을 알 수 있다. \[ df_p(c\cdot e_1) = c\cdot df_p(e_1) = c\frac{df}{dx}(p)\]

이 관찰이 중요한 이유는 1차원 미분가능성이 방향도함수의 점을 픽스했을 때, \(df_p:\mathbb R\to \mathbb R\)를 선형 사상 (linear map)으로 만들기 때문이다. 이는 모든 방향에 대한 방향도함수가 존재한다는 말과도 같다. 곱씹어보면 함수의 변화를 생각하는 것이기 때문에 자연스러운 결론임을 알 수 있다. 그러나 늘 성립하는 것은 아니고 언급했듯이 '미분가능성'이라는 조건이 상당히 중요하게 작용한다.

Def (Differential). \(f\colon U\to\mathbb R\)로 가는 함수라고 하자. 우리는 다음의 조건을 만족하는 선형 사상 \(A\)가 존재한다면 \(A\)를 점 \(p\)에서 \(f\)의 미분이라고 부른다.  \[\lim_{|h|\to 0}\frac{|f(p+h)-f(p)-A(h)|}{|h|}=0\]

그리고 \(df_p = A\)로 표기한다.

 

여기서 \(h\)는 \(n\)차원 벡터이다. 이 정의는 방향도함수와 호환이 된다. 하지만 모든 방향에 대해서 방향도함수가 존재하며 선형 사상이 될 조건까지 추가되어있다. 여기서 체인룰을 이용하면 다음의 결과를 얻을 수 있다. (체인룰에 관한 정리가 필요하겠지만..꽤 긴 호흡이 필요하니 지금은 받아들이자..ㅎㅎ ㅈㅅ)

Thm. \(f\colon \mathbb R^n\to\mathbb R\)를 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[df_x(v) = v_1 \frac{\partial f}{\partial x^1}(x) + v_2 \frac{\partial f}{\partial x^2}(x)+\cdots +v_n\frac{\partial f}{\partial x^n}(x) = \langle \nabla f,v \rangle\]

단, \(v = v_1e_1+v_2e_2+\cdots+v_ne_n\)이고 \(\langle\cdot,\cdot\rangle\)은 유클리드 내적이다.

 

정의는 정확하게 하고 싶어 미분가능성이니 어렵게 설명했지만 사실 미분기하학이 알고 싶어하는 대상은 매끄럽게 생긴 친구들이다. 그러면 위의 논의는 자연스럽게 통하게 된다. 그래서 우리는 \(U\) 위에 정의된 모든 편도함수가 연속이고 무한번 미분가능한 함수들의 집합을 \(C^\infty(U)\)로 표기하고 주로 이 함수를 사용할 것이다.

 

그래디언트, 회전, 발산 (\(\nabla\))

 

앞선 절에서 이미 그래디언트가 등장했다. 그러니 쉽게 정의할 수 있다. (앞에서 이야기했듯이 \(f\in C^\infty(U)\)로 둔다.) \[\nabla(f) = \operatorname{grad}(f) :=\frac{\partial f}{\partial x^1}e_1+ \frac{\partial f}{\partial x^2}e_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x^n}e_n\]

발산도 쉽게 정의할 수 있다. (\(F=(F_1,F_2,\dots,F_n)\)이고 \(F_1,F_2,\dots,F_n\in C^\infty(U)\)) \[\nabla\cdot F = \operatorname{div}(F) :=\frac{\partial F_1}{\partial x^1}+\frac{\partial F_2}{\partial x^2}+\cdots+\frac{\partial F_n}{\partial x^n} \]

그러나 회전은 3차원 한정으로만 정의된다. (\(U\subset \mathbb R^3\)이고 \(F=(F_1,F_2,F_3)\), \(F_1,F_2,F_3\in C^\infty(U)\)) \begin{multline} \nabla\times F = \operatorname{curl}(F) := \begin{vmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ \frac{\partial}{\partial x^1} & \frac{\partial}{\partial x^2} & \frac{\partial}{\partial x^3} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} \\ = \left(\frac{\partial F_2}{\partial x^3}-\frac{\partial F_3}{\partial x^2}\right)e_1 + \left(\frac{\partial F_3}{\partial x^1}-\frac{\partial F_1}{\partial x^3}\right)e_2 + \left(\frac{\partial F_1}{\partial x^2}-\frac{\partial F_2}{\partial x^1}\right)e_3 \end{multline}

 

이제 필요한 미분의 개념은 다 리마인드했다. 마지막으로 저번 글에서 얘기했던 벡터항등식을 증명하고 가자. 두 증명 모두에서 중요하게 쓰이는 것은 두 편미분 연산자의 교환가능성이다. \[\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^j\partial x^i} \]

일반적인 함수에 대해 성립하는 것은 아니지만 \(C^\infty(U)\)의 함수들은 이를 만족시킨다. (이것도 나중에 실해석 다루면서 이야기하겠다.)

 

\begin{align*} \nabla\times(\nabla f) & = \left(\frac{\partial}{\partial x^3}\left(\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x^2}\left(\frac{\partial f}{\partial x^3}\right)\right)e_1 \\ & + \left(\frac{\partial}{\partial x^1}\left(\frac{\partial f}{\partial x^3}\right)-\frac{\partial}{\partial x^3}\left(\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)\right)e_2 \\ & + \left(\frac{\partial}{\partial x^2}\left(\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)-\frac{\partial}{\partial x^1}\left(\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)e_3 =0 \end{align*}

\begin{multline} \nabla\cdot(\nabla\times F) \\ = \frac{\partial}{\partial x^1}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x^3}-\frac{\partial F_3}{\partial x^2}\right) + \frac{\partial}{\partial x^2}\left(\frac{\partial F_3}{\partial x^1}-\frac{\partial F_1}{\partial x^3}\right) +\frac{\partial}{\partial x^3} \left(\frac{\partial F_1}{\partial x^2}-\frac{\partial F_2}{\partial x^1}\right) = 0 \end{multline}

 

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