[0. 미분형식 시리즈] 미분형식과 벡터해석학

벡터해석학이라고 불리는 다변수들의 미분적분은 대부분의 이공계에게 있어서 필수불가결한 분야이다. 대표적인 예시로 전자기학이 벡터해석학을 통해 기술될 수 있다. 주로 그래디언트, 회전, 발산 (gradiennt, curl, divergence)라는 3가지 미분 연산자를 이용한다.

 

3가지 미분 연산자는 벡터항등식이란 관계를 가진다. $$ \begin{gather} \nabla\times(\nabla f) = 0 \\ \nabla\cdot(\nabla\times F) = 0 \end{gather} $$

이에 대해서 찾다가 보면 미분형식 (Differential form)이란 용어를 자연스럽게 접해볼 수 있다. 혹은  \(dx, dy\) 같은 기호를 어떻게 규명하는지 공부하다가 접해본 사람도 있을 것이다. 이 미분형식을 배우고 나면 \(dx\) 등의 기호를 규명할 수 있으며 위의 벡터항등식을 하나의 식으로 쓸 수 있다. \[d^2=0\]

미분형식이란 좋은 대상이 있음에도 불구하고 벡터해석학을 가르치는 이유는 미분형식을 배우기 위해서 선형대수학의 지식이 일부 필요하기 때문이다. 그렇다면 충분한 선형대수학의 지식을 가지고 있다면 어떨까? 선형대수학을 수강하고 미분기하학의 책을 열면 가장 먼저 미분다양체 (Differentiable manifold)라는 친구가 첫 장에서 우리를 반겨준다. 미분다양체의 개념은 또 위상수학을 필요로 하기 때문에 선형대수학만 있다고 해서 미분형식을 배울 수 있는 것은 아니다. 

 

이러한 이유로 미분형식을 공부하기 위해서는 긴 호흡이 필요하다. 필자 또한 일반적으로 통용되는 미분형식의 개념을 공부하는데는 시간이 꽤나 들어갔다. 그래서 미분형식만을 공부해보고 싶은 사람들을 위해 이 시리즈를 작성하고자 한다. 일반적인 정의와 호환은 되겠지만 살짝은 다르게 정의를 할 것이며 미분형식이 정의되는 대상도 처음에는 한정할 것이다.

 

시리즈는 크게 벡터해석학 리뷰, 미분형식 도입, 일반적인 정의로의 확장으로 나뉘어질 예정이다. 필요한 선형대수학 등은  필요할 때마다 시리즈 외의 글을 할당해서 작성하겠다.

 

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